Question

а) Решите уравнение $3\cdot{9}^{x+1}-5\cdot{6}^{x+1}+8\cdot{2}^{2x}=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства степеней для приведения уравнения к квадратному относительно новой переменной.

**а) Решение уравнения**

Раскроем степени с суммой показателей:

$$3\cdot{9}^{x}\cdot{9}-5\cdot{6}^{x}\cdot{6}+8\cdot{4}^{x}=0$$

$$27\cdot{9}^{x}-30\cdot{6}^{x}+8\cdot{4}^{x}=0$$

Разделим обе части на $4^x$:

$$\frac{27\cdot{9}^{x}}{4^{x}}-\frac{30\cdot{6}^{x}}{4^{x}}+8=0$$

$$27\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{x}-30\cdot\left(\frac{6}{4}\right)^{x}+8=0$$

Заметим, что $\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$ и $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$:

$$27\cdot\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{2}-30\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+8=0$$

Введём замену $y=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}$:

$$27y^{2}-30y+8=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=900-864=36$$

$$y_{1}=\frac{30+6}{54}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3}$$

$$y_{2}=\frac{30-6}{54}=\frac{24}{54}=\frac{4}{9}$$

Вернёмся к исходной переменной.

Из $\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{2}{3}$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$$

$$x=-1$$

Из $\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{4}{9}$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$$

$$x=-2$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Проверим принадлежность корней отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$.

Известно, что $3{,}14<\pi<3{,}15$, откуда $1{,}57<\frac{\pi}{2}<1{,}575$.

Следовательно, $-1{,}575<-\frac{\pi}{2}<-1{,}57$.

Корень $x=-2$ не принадлежит отрезку, так как $-2<-1{,}575<-\frac{\pi}{2}$.

Корень $x=-1$ принадлежит отрезку, так как $-\frac{\pi}{2}<-1<\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике