Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} x+ay+a-2=0 \ x|y|+x-2=0 \end{array} ight.$$

имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: выразить $x$ из обоих уравнений, приравнять выражения и найти условие на $a$, при котором система имеет ровно одно решение.

Из первого уравнения выразим $x$:

$$x = -a(y+1)+2 \quad (1)$$

Из второго уравнения:

$$x(|y|+1) = 2$$

$$x = \frac{2}{|y|+1} \quad (2)$$

Заметим, что из уравнения (2) следует $x > 0$ при всех $y$.

**Случай $y = 0$:**

Подставим $y = 0$ в уравнение (2): $x = 2$.

Проверим в уравнении (1): $2 + a \cdot 0 + a - 2 = 0$, откуда $a = 0$.

При $a = 0$ система имеет решение $(2, 0)$.

**Случай $y 
eq 0$:**

Приравняем выражения (1) и (2):

$$-a(y+1)+2 = \frac{2}{|y|+1}$$

$$a(y+1) = 2 - \frac{2}{|y|+1}$$

$$a(y+1) = \frac{2(|y|+1)-2}{|y|+1} = \frac{2|y|}{|y|+1}$$

Для $y > 0$ имеем $|y| = y$:

$$a(y+1) = \frac{2y}{y+1}$$

$$\frac{2}{y+1} + a(y+1) - 2 = 0$$

Умножим на $(y+1)$:

$$2 + a(y+1)^2 - 2(y+1) = 0$$

$$a(y+1)^2 - 2y = 0$$

$$ay^2 + 2ay + a - 2y = 0$$

$$ay^2 + 2(a-1)y + a = 0$$

Для единственного решения при $y > 0$ приравняем дискриминант к нулю:

$$D = 4(a-1)^2 - 4a^2 = 4(a^2 - 2a + 1 - a^2) = 4(1-2a) = 0$$

$$a = \frac{1}{2}$$

При $a = \frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{2}y^2 - y + \frac{1}{2} = 0$, откуда $y = 1$ (единственный корень).

Для $y < 0$ имеем $|y| = -y$:

$$a(y+1) = \frac{-2y}{y+1}$$

$$a(y+1)^2 = -2y$$

$$ay^2 + 2ay + a + 2y = 0$$

$$ay^2 + 2(a+1)y + a = 0$$

Дискриминант: $D = 4(a+1)^2 - 4a^2 = 4(2a+1) = 0$, откуда $a = -\frac{1}{2}$.

При $a = -\frac{1}{2}$ получаем $-\frac{1}{2}y^2 + y - \frac{1}{2} = 0$, откуда $y = -1$ (единственный корень).

Проверим, что при найденных значениях $a$ система имеет ровно одно решение:
- При $a = 0$: решение $(2, 0)$.
- При $a = \frac{1}{2}$: решение $(1, 1)$.
- При $a = -\frac{1}{2}$: решение $(1, -1)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике