Question

Найдите точку максимума функции $y = \ln(x+3)^7 - 7x - 9$.

Accepted Answer

-2

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов.

Вычислим производную:

$$y' = \frac{7(x+3)^6}{(x+3)^7} - 7$$

Упростим первое слагаемое:

$$y' = \frac{7}{x+3} - 7$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{7}{x+3} - 7 = 0$$

$$\frac{7}{x+3} = 7$$

$$\frac{1}{x+3} = 1$$

$$x + 3 = 1$$

$$x = -2$$

Заметим, что $x = -3$ — точка разрыва функции (область определения: $x > -3$).

Исследуем знак производной на интервалах:

- При $x \in (-3, -2)$: выберем $x = -2{,}5$, тогда $y' = \frac{7}{0{,}5} - 7 = 14 - 7 = 7 > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-2, +\infty)$: выберем $x = 0$, тогда $y' = \frac{7}{3} - 7 = \frac{7 - 21}{3} = -\frac{14}{3} < 0$ (функция убывает).

Производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому $x = -2$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике