Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 7 + 12x - 4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 12]$.

Accepted Answer

23

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить значения на концах отрезка и в критической точке. Вычислим производную. Представим функцию как $y = 7 + 12x - 4x^{3/2}$: $$y' = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 12 - 6\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12 - 6\sqrt{x} = 0$$ $$6(2 - \sqrt{x}) = 0$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$ Точка $x = 4$ лежит внутри отрезка $[0; 12]$. По методу интервалов: при $x < 4$ имеем $y' > 0$ (функция возрастает), при $x > 4$ имеем $y' < 0$ (функция убывает). Следовательно, $x = 4$ — точка максимума. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$y(0) = 7$$ $$y(4) = 7 + 12 \cdot 4 - 4 \cdot 4\sqrt{4} = 7 + 48 - 32 = 23$$ $$y(12) = 7 + 12 \cdot 12 - 4 \cdot 12\sqrt{12} = 7 + 144 - 48 \cdot 2\sqrt{3} = 151 - 96\sqrt{3} \approx 151 - 166{,}3 < 0$$ Наибольшее значение равно 23.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике