Question

Найдите точку минимума функции $y = (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4}$.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, применить правило произведения и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную, используя правило произведения: $$y' = (16x - 40)e^{x+4} + e^{x+4}(8x^2 - 40x + 40)$$ Вынесем общий множитель $e^{x+4}$: $$y' = e^{x+4}(16x - 40 + 8x^2 - 40x + 40)$$ $$y' = e^{x+4}(8x^2 - 24x)$$ Приравняем производную к нулю: $$e^{x+4}(8x^2 - 24x) = 0$$ Поскольку $e^{x+4} > 0$ для всех $x$, получаем: $$8x^2 - 24x = 0$$ $$8x(x - 3) = 0$$ Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Исследуем знак производной на интервалах с помощью метода интервалов. На числовой оси отметим критические точки и проверим знак $y' = e^{x+4} \cdot 8x(x-3)$: - При $x < 0$: оба множителя $x$ и $(x-3)$ отрицательны, произведение положительно, $y' > 0$. - При $0 < x < 3$: множитель $x$ положителен, $(x-3)$ отрицателен, произведение отрицательно, $y' < 0$. - При $x > 3$: оба множителя положительны, произведение положительно, $y' > 0$. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = 3$, что указывает на локальный минимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике