Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{2}-7x-y+8 ight)\cdot\sqrt{x-y+8}=0 \ y=ax+a \end{array} ight.$$

имеет ровно два решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю; второе уравнение задаёт семейство прямых, проходящих через фиксированную точку; нужно найти значения параметра, при которых прямая пересекает допустимое множество ровно в двух точках.

Произведение обращается в нуль, когда либо $x^{2}-7x-y+8=0$, либо $\sqrt{x-y+8}=0$. Учитывая область определения корня, получаем:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^{2}-7x-y+8=0 \ x-y+8=0 \end{array} ight. \ x-y+8\geq0 \end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} y=x^{2}-7x+8 \ y=x+8 \end{array} ight. \ y \leq x+8 \end{array} ight.$$

Допустимое множество состоит из параболы $y=x^{2}-7x+8$ и отрезка прямой $y=x+8$, где $y \leq x+8$.

Парабола $y=x^{2}-7x+8$ имеет вершину в точке с абсциссой $x_0=\frac{7}{2}=3{,}5$ и ординатой $y_0=-4{,}25$.

Второе уравнение системы можно переписать как $y=a(x+1)$. Это семейство прямых, каждая из которых проходит через точку $A(-1; 0)$ при любом значении $a$.

**Случай 1.** Прямая проходит через точку $C(0; 8)$ (пересечение параболы и прямой $y=x+8$):

$$8=a(0+1) \Rightarrow a=8$$

**Случай 2.** Прямая проходит через точку $B(8; 16)$ (вторая точка пересечения параболы и прямой $y=x+8$):

$$16=a(8+1) \Rightarrow a=\frac{16}{9}$$

**Случай 3.** Прямая касается параболы. Приравняем:

$$x^{2}-7x+8=ax+a$$

$$x^{2}-(7+a)x+(8-a)=0$$

Дискриминант:

$$D=(7+a)^{2}-4(8-a)=49+14a+a^{2}-32+4a=a^{2}+18a+17$$

При касании $D=0$:

$$a^{2}+18a+17=0$$

$$(a+1)(a+17)=0 \Rightarrow a=-1 	ext{ или } a=-17$$

Проверим $a=-17$: уравнение $x^{2}+10x+25=0$ даёт $x=-5$, откуда $y=68$. Точка $(-5; 68)$ не удовлетворяет условию $y \leq x+8$ (так как $68 
ot\leq 3$), поэтому $a=-17$ не подходит.

Проверим $a=-1$: уравнение $x^{2}-6x+9=0$ даёт $x=3$, откуда $y=-4$. Точка $(3; -4)$ удовлетворяет условию $y \leq x+8$ (так как $-4 \leq 11$), поэтому $a=-1$ подходит.

**Случай 4.** Прямая параллельна $y=x+8$, то есть $a=1$. При этом прямая $y=x+1$ пересекает параболу в двух точках, обе лежащие в допустимой области.

Объединяя все случаи, получаем значения параметра, при которых система имеет ровно два решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике