Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^{2}}=\sqrt{a-x^{2}} \ x^{2}+y^{2}=2x+4y \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из первого уравнения получаем $x^2 = y^2$, что даёт две прямые; второе уравнение задаёт окружность; нужно найти, при каких значениях параметра $a$ пересечение этих геометрических объектов содержит ровно две точки, удовлетворяющие ограничению на область определения.

Из первого уравнения, возведя обе части в квадрат:

$$a - y^{2} = a - x^{2}$$

$$x^{2} = y^{2}$$

Это означает $y = x$ или $y = -x$.

Преобразуем второе уравнение:

$$x^{2} + y^{2} - 2x - 4y = 0$$

$$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 4y + 4 = 5$$

$$(x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 5$$

Это окружность с центром $(1; 2)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Кроме того, из области определения первого уравнения требуется $a - x^{2} \geq 0$ и $a - y^{2} \geq 0$, то есть $x^{2} \leq a$ и $y^{2} \leq a$, откуда $|x| \leq \sqrt{a}$ и $|y| \leq \sqrt{a}$.

**Пересечение прямой $y = x$ с окружностью:**

$$(x-1)^{2} + (x-2)^{2} = 5$$

$$x^{2} - 2x + 1 + x^{2} - 4x + 4 = 5$$

$$2x^{2} - 6x = 0$$

$$x(x - 3) = 0$$

Получаем точки $(0; 0)$ и $(3; 3)$.

**Пересечение прямой $y = -x$ с окружностью:**

$$(x-1)^{2} + (-x-2)^{2} = 5$$

$$x^{2} - 2x + 1 + x^{2} + 4x + 4 = 5$$

$$2x^{2} + 2x = 0$$

$$x(x + 1) = 0$$

Получаем точки $(0; 0)$ и $(-1; 1)$.

Итак, окружность пересекает обе прямые в трёх различных точках: $(0; 0)$, $(3; 3)$ и $(-1; 1)$.

Для точки $(0; 0)$: требуется $0 \leq a$ (всегда выполнено при $a \geq 0$).

Для точки $(3; 3)$: требуется $9 \leq a$.

Для точки $(-1; 1)$: требуется $1 \leq a$.

Чтобы система имела ровно два решения, нужно исключить ровно одну из трёх точек:

- Если $a < 1$: исключаются точки $(-1; 1)$ и $(3; 3)$, остаётся одна точка — недостаточно.
- Если $1 \leq a < 9$: исключается точка $(3; 3)$, остаются $(0; 0)$ и $(-1; 1)$ — ровно две точки.
- Если $a \geq 9$: все три точки входят в решение — слишком много.

Следовательно, $1 \leq a < 9$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике