Question

Катер отправился из пункта А в пункт В (расстояние 40 км) в 10:00, двигаясь по течению реки. После трёхчасовой стоянки в пункте В катер вернулся в пункт А, прибыв туда в 16:00. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если скорость течения составляет 3 км/ч.

Accepted Answer

27

Answer

Идея решения: составить уравнение на основе того, что общее время в пути (без учёта стоянки) равно 3 часам.

Общее время с 10:00 до 16:00 составляет 6 часов. Вычитая 3 часа стоянки, получаем, что катер находился в движении 3 часа.

Обозначим собственную скорость катера через $x$ км/ч. Тогда:
- по течению скорость равна $x + 3$ км/ч;
- против течения скорость равна $x - 3$ км/ч.

Время в пути по течению: $\dfrac{40}{x+3}$ ч.

Время в пути против течения: $\dfrac{40}{x-3}$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{40}{x+3}+\frac{40}{x-3}=3$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{40(x-3)+40(x+3)}{(x+3)(x-3)}=3$$

$$\frac{40x-120+40x+120}{x^2-9}=3$$

$$\frac{80x}{x^2-9}=3$$

$$80x=3(x^2-9)$$

$$80x=3x^2-27$$

$$3x^2-80x-27=0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{80 \pm \sqrt{6400+324}}{6}=\frac{80 \pm \sqrt{6724}}{6}=\frac{80 \pm 82}{6}$$

Получаем два корня:

$$x_1=\frac{80+82}{6}=\frac{162}{6}=27$$

$$x_2=\frac{80-82}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Так как скорость должна быть положительной, $x = 27$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике