Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 9\ln(x+7) - 9x + 4$ на отрезке $[-6{,}5; 0]$.

Accepted Answer

58

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную, определить её характер и вычислить значение функции в точке максимума. Вычислим производную: $$y' = \frac{9}{x+7} - 9$$ Приравняем к нулю: $$\frac{9}{x+7} - 9 = 0$$ $$\frac{9}{x+7} = 9$$ $$x + 7 = 1$$ $$x = -6$$ Применим метод интервалов для анализа знака производной. При $x \in [-6{,}5; -6)$ имеем $x + 7 \in [0{,}5; 1)$, поэтому $\frac{9}{x+7} > 9$ и $y' > 0$. При $x \in (-6; 0]$ имеем $x + 7 \in (1; 7]$, поэтому $\frac{9}{x+7} < 9$ и $y' < 0$. Таким образом, функция возрастает на $[-6{,}5; -6]$ и убывает на $[-6; 0]$, что означает, что $x = -6$ — точка максимума на данном отрезке. Вычислим значение в этой точке: $$y(-6) = 9\ln(-6+7) - 9 \cdot (-6) + 4 = 9\ln(1) + 54 + 4 = 0 + 54 + 4 = 58$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике