Question

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60°$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$.

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K : KC_1 = 2 : 3$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: спроецировать трапецию на основание, использовать подобие треугольников для определения положения $M$, затем применить условие равнобедренности и объёма.

**а) Доказательство**

Поскольку $AMKN$ — равнобедренная трапеция, её основания параллельны: $AN \parallel MK$.

Спроецируем отрезок $MK$ на плоскость основания $(ABCD)$. Проекция точки $M$ на основание — это точка $M_1$ на ребре $AB$, проекция $K$ — точка $K_1$ на ребре $BC$. Проекция $MK$ равна $M_1K_1$, и поскольку $AN \parallel MK$, имеем $AN \parallel M_1K_1$.

Из параллельности $AN \parallel M_1K_1$ и того, что $\angle B$ — общий угол, соответственные углы равны: $\angle KM_1B = \angle NAB$. Следовательно, треугольники $M_1BK_1$ и $ABN$ подобны.

Из подобия:
$$\frac{M_1B}{AB} = \frac{M_1K_1}{AN} = \frac{1}{2}$$

Отсюда $M_1B = \frac{AB}{2}$, то есть $M_1$ — середина $AB$. Поскольку $M$ лежит на $A_1B_1$ и его проекция $M_1$ — середина $AB$, точка $M$ является серединой $A_1B_1$. ✓

**б) Нахождение высоты**

Обозначим высоту призмы через $h = AA_1$.

Из условия равнобедренности трапеции $AM = KN$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AA_1M$:
$$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = h^2 + A_1M^2$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $KK_1N$:
$$KN^2 = KK_1^2 + K_1N^2 = h^2 + K_1N^2$$

Поскольку $AM = KN$ и $AA_1 = KK_1 = h$, получаем:
$$A_1M = K_1N$$

Из пункта а) $A_1M = \frac{A_1B_1}{2}$. Пусть $B_1K = 2x$ и $KC_1 = 3x$, тогда $B_1C_1 = 5x$.

Так как $K_1N = B_1K = 2x$ (проекция $K$ на основание совпадает с $K_1$, и $K_1N$ — проекция $KN$), имеем:
$$NC = K_1N = 2x$$

Следовательно, $BN = BC - NC = 5x - 2x = 3x$.

Рассмотрим треугольник $ABN$ в основании. Из условия равнобедренности трапеции и геометрии конфигурации треугольник $ABN$ равнобедренный с $AB = BN$.

Опустим высоту из $B$ на $AN$, она попадает в точку $H$. Тогда $AH = HN = \frac{AN}{2} = \frac{1}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$$BH = AH \cdot 	an 30° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Из треугольника $ABN$:
$$AB = \frac{AH}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Поскольку $AB = BN$:
$$BN = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3x \implies x = \frac{1}{3\sqrt{3}}$$

Тогда $BC = 5x = \frac{5}{3\sqrt{3}}$ и $AB = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Площадь основания:
$$S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin 60° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{6}$$

Из условия объёма:
$$V = h \cdot S_{ABCD} = h \cdot \frac{5}{6} = 5 \implies h = 6$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике