Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{3}(81x)}{\log_{3}x-4}+\frac{\log_{3}x-4}{\log_{3}(81x)}\geq\frac{24-\log_{3}x^{8}}{\log_{3}^{2}x-16}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить логарифмические свойства, ввести замену переменной и привести неравенство к рациональному виду с полным квадратом в числителе. Область определения: $x > 0$. Разложим логарифмы в левой и правой частях: $$\frac{\log_{3}81+\log_{3}x}{\log_{3}x-4}+\frac{\log_{3}x-4}{\log_{3}81+\log_{3}x}\geq\frac{24-\log_{3}x^{8}}{\log_{3}^{2}x-16}$$ Поскольку $\log_{3}81 = 4$ и $\log_{3}x^{8} = 8\log_{3}x$: $$\frac{4+\log_{3}x}{\log_{3}x-4}+\frac{\log_{3}x-4}{4+\log_{3}x}\geq\frac{24-8\log_{3}x}{\log_{3}^{2}x-16}$$ Введём замену $t = \log_{3}x$: $$\frac{4+t}{t-4}+\frac{t-4}{t+4}\geq\frac{24-8t}{t^{2}-16}$$ Заметим, что $t^{2}-16 = (t-4)(t+4)$. Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(4+t)^{2}+(t-4)^{2}-(24-8t)}{(t-4)(t+4)}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{16+8t+t^{2}+t^{2}-8t+16-24+8t}{(t-4)(t+4)}\geq0$$ $$\frac{2t^{2}+8t+8}{(t-4)(t+4)}\geq0$$ Вынесем общий множитель: $$\frac{2(t^{2}+4t+4)}{(t-4)(t+4)}\geq0$$ $$\frac{2(t+2)^{2}}{(t-4)(t+4)}\geq0$$ Числитель всегда неотрицателен. Знаменатель положителен при $t < -4$ или $t > 4$, равен нулю при $t = -4$ и $t = 4$. При $t = -2$ числитель обращается в нуль. Решение неравенства: $t < -4$, $t = -2$ или $t > 4$. Вернёмся к переменной $x$: - $\log_{3}x < -4 \Rightarrow x < 3^{-4} = \frac{1}{81}$ - $\log_{3}x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$ - $\log_{3}x > 4 \Rightarrow x > 3^{4} = 81$ С учётом ограничения $x > 0$: $$x \in \left(0; \frac{1}{81}\right) \cup \left\{\frac{1}{9}\right\} \cup (81; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике