Question

а) Решите уравнение $2\sin\left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos2x=\sqrt{3}\cos x+1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы и косинус двойного угла, приведём уравнение к квадратному относительно синуса, затем отберём корни на заданном отрезке.

**а) Решение уравнения**

Применим формулу синуса суммы $\sin(t+s)=\sin t \cos s + \cos t \sin s$:

$$2\left(\sin x \cdot \cos\frac{\pi}{3}+\cos x \cdot \sin\frac{\pi}{3}ight)+\cos^2 x-\sin^2 x=\sqrt{3}\cos x+1$$

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\left(\sin x \cdot \frac{1}{2}+\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}ight)+\cos^2 x-\sin^2 x=\sqrt{3}\cos x+1$$

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=\sqrt{3}\cos x+1$$

Сократим $\sqrt{3}\cos x$ с обеих сторон:

$$\sin x+\cos^2 x-\sin^2 x=1$$

Используя $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$:

$$\sin x+1-\sin^2 x-\sin^2 x=1$$

$$\sin x-2\sin^2 x=0$$

$$\sin x(1-2\sin x)=0$$

Получаем совокупность:

$$\left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} ight.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\left[ \begin{array}{l} x=\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \end{array} ight.$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} ight]$**

Для $x=\pi k$:

$$-3\pi \leq \pi k \leq -\frac{3\pi}{2}$$

$$-3 \leq k \leq -1{,}5$$

Целые значения: $k=-3$ и $k=-2$, откуда $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$.

Для $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$-3\pi \leq \frac{\pi}{6}+2\pi n \leq -\frac{3\pi}{2}$$

Умножим на $\frac{6}{\pi}$:

$$-18 \leq 1+12n \leq -9$$

$$-19 \leq 12n \leq -10$$

$$-1{,}58... \leq n \leq -0{,}83$$

Целое значение: $n=-1$, откуда $x=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}$.

Для $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m$:

$$-3\pi \leq \frac{5\pi}{6}+2\pi m \leq -\frac{3\pi}{2}$$

Умножим на $\frac{6}{\pi}$:

$$-18 \leq 5+12m \leq -9$$

$$-23 \leq 12m \leq -14$$

$$-1{,}91... \leq m \leq -1{,}16$$

Целых значений нет.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике