Question

Решите неравенство:

$$\frac{1}{3^x+4}\leq\frac{2}{3^{x+1}-1}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать правую часть через $3^x$, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Преобразуем правую часть: $$\frac{1}{3^x+4}\leq\frac{2}{3\cdot 3^x-1}$$ Введём замену $t = 3^x$, где $t > 0$: $$\frac{1}{t+4}\leq\frac{2}{3t-1}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{1}{t+4}-\frac{2}{3t-1}\leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{3t-1-2(t+4)}{(t+4)(3t-1)}\leq 0$$ $$\frac{3t-1-2t-8}{(t+4)(3t-1)}\leq 0$$ $$\frac{t-9}{(t+4)(3t-1)}\leq 0$$ Найдём нули числителя и знаменателя: $t = 9$, $t = -4$, $t = \frac{1}{3}$. Применим метод интервалов на числовой оси (см. диаграмму): - При $t < -4$: выражение положительно. - При $-4 < t < \frac{1}{3}$: выражение отрицательно. - При $\frac{1}{3} < t < 9$: выражение положительно. - При $t > 9$: выражение отрицательно. - При $t = 9$: выражение равно нулю. Решение неравенства: $-4 < t < \frac{1}{3}$ или $t \geq 9$. Так как $t = 3^x > 0$, условие $t > -4$ выполнено автоматически. Остаётся: $$0 < 3^x < \frac{1}{3} \quad ext{или} \quad 3^x \geq 9$$ Из первого условия: $$3^x < 3^{-1}$$ $$x < -1$$ Из второго условия: $$3^x \geq 3^2$$ $$x \geq 2$$ Объединяя оба случая: $$x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике