Question

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Некоторые из этих чисел (возможно, только одно) увеличили на единицу. Числа, ставшие равными 51, удалили с доски, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое уменьшиться?

б) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 24, может ли среднее арифметическое оставшихся чисел равняться 17?

в) При первоначальном среднем арифметическом, равном 24, найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Accepted Answer

Answer

**а)**

Идея решения: выбрать набор, где большое число 50 будет удалено, а остальные числа малы.

Рассмотрим набор из 19 чисел, равных 11, и одного числа 50.

Первоначальное среднее арифметическое:

$$S_1 = \frac{19 \cdot 11 + 50}{20} = \frac{209 + 50}{20} = \frac{259}{20} = 12{,}95$$

Увеличим число 50 на 1, получим 51, которое удаляем. На доске остаётся 19 чисел, каждое равно 11.

Среднее арифметическое после изменений:

$$S_2 = \frac{19 \cdot 11}{19} = 11$$

Поскольку $11 < 12{,}95$, среднее арифметическое уменьшилось.

**б)**

Идея решения: составить систему уравнений на основе условий о среднем арифметическом до и после изменений.

Обозначим количество чисел, равных 50, через $n$. Остальные $19 - n$ чисел обозначим одной переменной $b$ (предполагая, что они все одинаковы), и ещё одно число обозначим $a$.

Из условия на первоначальное среднее:

$$\frac{50n + (19 - n)b + a}{20} = 24$$

$$50n + 19b - nb + a = 480 \quad (1)$$

После увеличения на 1 и удаления чисел 51 остаётся $20 - n$ чисел (удалены $n$ чисел, равных 50). Их среднее равно 17:

$$\frac{(19 - n)b + a}{20 - n} = 17$$

$$19b - nb + a = 17(20 - n) = 340 - 17n \quad (2)$$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$50n - (-17n) = 480 - 340$$

$$67n = 140$$

$$n = \frac{140}{67} \approx 2{,}09$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, такой набор невозможен.

**в)**

Идея решения: максимизировать количество чисел 50 (которые будут удалены), а остальные числа выбрать минимальными.

Пусть $n$ — количество чисел, равных 50, остальные $19 - n$ чисел равны 11 (минимально возможное значение), и одно число равно $a$, где $11 < a \leq 50$.

Из условия на первоначальное среднее:

$$\frac{50n + 11(19 - n) + a}{20} = 24$$

$$50n + 209 - 11n + a = 480$$

$$39n + a = 271$$

$$a = 271 - 39n$$

Для того чтобы $11 < a \leq 50$:

$$11 < 271 - 39n \leq 50$$

$$221 < 39n \leq 260$$

$$5{,}67... < n \leq 6{,}67$$

Следовательно, $n = 6$.

При $n = 6$ получаем $a = 271 - 234 = 37$.

Набор: шесть чисел 50, тринадцать чисел 11 и одно число 37.

Проверка первоначального среднего:

$$S_1 = \frac{6 \cdot 50 + 13 \cdot 11 + 37}{20} = \frac{300 + 143 + 37}{20} = \frac{480}{20} = 24$$

После удаления шести чисел 51 остаётся 14 чисел: тринадцать чисел 11 и одно число 37.

Среднее арифметическое оставшихся чисел:

$$S_2 = \frac{13 \cdot 11 + 37}{14} = \frac{143 + 37}{14} = \frac{180}{14} = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7}$$

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике