Question

а) Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin\left( x+\pi \right)=\sqrt{3}-2\sin x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\frac{5\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить левую часть, используя формулы приведения и двойного угла, затем разложить на множители.

**а)**

Применим формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$$1 - (1 - 2\sin^2 x) - \sqrt{3}(-\sin x) = \sqrt{3} - 2\sin x$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x + 2\sin x - \sqrt{3} = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin^2 x + 2\sin x + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} = 0$$

$$2\sin x(\sin x + 1) + \sqrt{3}(\sin x - 1) = 0$$

Заметим ошибку в группировке. Переделаем:

$$2\sin^2 x + (2 + \sqrt{3})\sin x - \sqrt{3} = 0$$

Разложим иначе:

$$2\sin x(\sin x + 1) - \sqrt{3}(\sin x + 1) = 0$$

$$(\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\sin x = -1 \quad 	ext{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Для $\sin x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Для $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)**

Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\frac{5\pi}{2} ight]$, используя тригонометрическую окружность.

Для $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{3\pi}{2}$ — входит в отрезок.

Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{7\pi}{3}$ — входит в отрезок.

Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} < \pi$ — не входит; при $k = 1$ получаем $x = \frac{8\pi}{3} > \frac{5\pi}{2}$ — не входит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике