Question

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $\angle ABD = 75°$ , угол $\angle CAD = 35°$ . Найдите угол $\angle ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/m88YLBW9sCw5xofS6HUVNu4yDtEz3Vwrx2frUepS.png)

Accepted Answer

110

Answer

Идея решения: применить теорему о вписанном угле, связав углы с дугами окружности, а затем выразить искомый угол через сумму дуг.

Вписанный угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. По теореме о вписанном угле:

$$\cup CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 35° = 70°$$

Вписанный угол $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$:

$$\cup AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 75° = 150°$$

Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$, которая состоит из дуг $AD$ и $DC$:

$$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC = \frac{1}{2}(\cup AD + \cup CD) = \frac{1}{2}(150° + 70°) = \frac{1}{2} \cdot 220° = 110°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике