Question

Найдите точку максимума функции $y=\frac{16}{x}+x+3$.

Accepted Answer

-4

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, в какой из них функция достигает максимума.

Вычислим производную:
$$y' = -\frac{16}{x^2}+1$$

Приравняем производную к нулю:
$$-\frac{16}{x^2}+1=0$$

Умножим обе части на $x^2$:
$$-16+x^2=0$$

$$x^2=16$$

$$x=\pm 4$$

Исследуем знак производной на интервалах. На промежутке $(-\infty; -4)$ производная положительна, на $(-4; 0)$ — отрицательна, на $(0; 4)$ — отрицательна, на $(4; +\infty)$ — положительна.

При переходе через $x=-4$ производная меняет знак с плюса на минус, что указывает на локальный максимум. При переходе через $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, что соответствует локальному минимуму.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике