Question

Решите неравенство:

$$\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{4^{x^2} - 8 \cdot 2^{x^2} + 16} \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель на множители, упростить знаменатель через замену, найти нули и промежутки знакопостоянства, исключив точки разрыва. **Шаг 1. Область определения.** Знаменатель не должен обращаться в нуль: $$4^{x^2} - 8 \cdot 2^{x^2} + 16 eq 0$$ Обозначим $t = 2^{x^2}$, тогда $4^{x^2} = t^2$: $$t^2 - 8t + 16 eq 0$$ $$(t - 4)^2 eq 0$$ $$t eq 4$$ $$2^{x^2} eq 4$$ $$x^2 eq 2$$ $$x eq \pm\sqrt{2}$$ **Шаг 2. Разложение числителя.** Разложим $x^3 + x^2 - x - 1$ на множители: $$x^2(x + 1) - (x + 1) \geq 0$$ $$(x^2 - 1)(x + 1) \geq 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x + 1) \geq 0$$ $$(x - 1)(x + 1)^2 \geq 0$$ **Шаг 3. Анализ знаменателя.** Заметим, что $(2^{x^2} - 4)^2 > 0$ при всех допустимых $x$, поэтому знаменатель всегда положителен на области определения. **Шаг 4. Решение неравенства.** Так как знаменатель положителен, неравенство равносильно: $$(x - 1)(x + 1)^2 \geq 0$$ Нули: $x = -1$ (кратность 2) и $x = 1$ (кратность 1). Анализ знаков: - При $x < -1$: $(x - 1) < 0$, $(x + 1)^2 > 0$ → произведение отрицательно. - При $x = -1$: произведение равно нулю. - При $-1 < x < 1$: $(x - 1) < 0$, $(x + 1)^2 > 0$ → произведение отрицательно. - При $x = 1$: произведение равно нулю. - При $x > 1$: $(x - 1) > 0$, $(x + 1)^2 > 0$ → произведение положительно. Решение: $x \in \{-1\} \cup [1; +\infty)$. **Шаг 5. Учёт ограничений.** Исключаем $x = \pm\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1$, точка $x = \sqrt{2}$ попадает в интервал $[1; +\infty)$ и должна быть исключена. Точка $x = -\sqrt{2} \approx -1{,}41 < -1$ не входит в решение.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике