Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 2\cos x + 5x + 7$ на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

9

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить значение на левом конце промежутка.

Вычислим производную:

$$y' = -2\sin x + 5$$

Приравняем её к нулю:

$$-2\sin x + 5 = 0$$

$$\sin x = 2{,}5$$

Поскольку $2{,}5 > 1$, а область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение не имеет решений.

Так как производная $y' = -2\sin x + 5$ всегда положительна (максимум $\sin x$ равен 1, поэтому $-2\sin x + 5 \geq -2 + 5 = 3 > 0$), функция строго возрастает на всём промежутке. Следовательно, минимум достигается в левой граничной точке $x = 0$:

$$y(0) = 2\cos 0 + 5 \cdot 0 + 7 = 2 + 0 + 7 = 9$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике