Question

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение для остатка долга после трёх платежей, приравнять его к нулю, затем использовать условие на сумму выплат.

Обозначим $S$ — сумма кредита (в рублях), $x$ — размер каждого платежа, $k = 1{,}2$ — коэффициент увеличения долга.

Проследим изменение долга по годам:

| Год | Долг до увеличения | Долг после увеличения | Платёж | Долг после платежа |
|-----|-------------------|----------------------|--------|-------------------|
| 1   | $S$               | $Sk$                 | $x$    | $Sk - x$          |
| 2   | $Sk - x$          | $(Sk - x)k$          | $x$    | $(Sk - x)k - x$   |
| 3   | $(Sk - x)k - x$   | $((Sk - x)k - x)k$   | $x$    | $((Sk - x)k - x)k - x$ |

После третьего платежа долг полностью погашен:

$$((Sk - x)k - x)k - x = 0$$

Раскроем скобки:

$$(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x = 0$$

$$(1{,}44S - 1{,}2x - x) \cdot 1{,}2 - x = 0$$

$$1{,}728S - 1{,}44x - 1{,}2x - x = 0$$

$$1{,}728S - 3{,}64x = 0$$

$$x = \frac{1{,}728S}{3{,}64}$$

По условию сумма трёх платежей превышает сумму кредита на 77 200 рублей:

$$3x = S + 77200$$

Подставим выражение для $x$:

$$3 \cdot \frac{1{,}728S}{3{,}64} = S + 77200$$

$$\frac{5{,}184S}{3{,}64} = S + 77200$$

Приведём к общему знаменателю, умножив обе части на 3640:

$$\frac{5184S}{3640} = S + 77200$$

Сократим дробь: $\gcd(5184, 3640) = 8$, получаем $\frac{648S}{455}$:

$$\frac{648S}{455} = S + 77200$$

Умножим обе части на 455:

$$648S = 455S + 35126000$$

$$193S = 35126000$$

$$S = 182000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике