Question

В треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AC = 25$ , $SC = 26$ , $\cos \angle SCA = \frac{288}{325}$ . Основанием высоты этой пирамиды является точка $B$ . Прямые $SA$ и $BC$ перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $SABC$ .

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $SABC$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать условие перпендикулярности прямых и высоты для установления перпендикулярности $BC$ к плоскости $SAB$, затем применить теорему косинусов и систему уравнений для нахождения всех необходимых длин.

**а) Доказательство**

По условию $BC \perp SA$.

Так как $B$ — основание высоты пирамиды, то $SB \perp$ плоскости $ABC$, откуда $SB \perp BC$.

Из двух условий $BC \perp SA$ и $BC \perp SB$ следует, что $BC$ перпендикулярна плоскости $SAB$.

Поскольку $AB$ лежит в плоскости $SAB$, имеем $BC \perp AB$.

Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

**б) Вычисление объёма**

Применим теорему косинусов к треугольнику $SAC$:

$$SA^2 = SC^2 + AC^2 - 2 \cdot SC \cdot AC \cdot \cos \angle SCA$$

$$SA^2 = 26^2 + 25^2 - 2 \cdot 26 \cdot 25 \cdot \frac{288}{325}$$

$$SA^2 = 676 + 625 - \frac{2 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 288}{325} = 1301 - 1152 = 149$$

$$SA = \sqrt{149}$$

Из условия перпендикулярности и того, что $SB$ — высота, получаем три прямоугольных треугольника:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$SA^2 = AB^2 + SB^2$$

$$SC^2 = SB^2 + BC^2$$

Составим систему:

$$\begin{cases}
625 = AB^2 + BC^2 \
149 = AB^2 + SB^2 \
676 = SB^2 + BC^2
\end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$625 - 149 = BC^2 - SB^2$$

$$BC^2 - SB^2 = 476$$

Сложим второе и третье уравнения:

$$149 + 676 = AB^2 + 2SB^2 + BC^2$$

$$825 = AB^2 + 2SB^2 + BC^2$$

Из первого уравнения $AB^2 + BC^2 = 625$, поэтому:

$$825 = 625 + 2SB^2$$

$$SB^2 = 100$$

$$SB = 10$$

Из третьего уравнения:

$$BC^2 = 676 - 100 = 576$$

$$BC = 24$$

Из первого уравнения:

$$AB^2 = 625 - 576 = 49$$

$$AB = 7$$

Площадь основания:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$$

Объём пирамиды:

$$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot SB \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 84 = 280$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике