Question

Найдите значение выражения $2\sqrt{3}-4\sqrt{3}\sin^{2}\frac{7\pi}{12}$.

Accepted Answer

-3

Answer

Идея решения: вынести общий множитель и применить формулу двойного угла для косинуса.

Вынесем $2\sqrt{3}$ за скобки:

$$2\sqrt{3}-4\sqrt{3}\sin^{2}\frac{7\pi}{12}=2\sqrt{3}\left(1-2\sin^{2}\frac{7\pi}{12}\right)$$

Используем формулу $1-2\sin^{2}\alpha=\cos 2\alpha$:

$$2\sqrt{3}\left(1-2\sin^{2}\frac{7\pi}{12}\right)=2\sqrt{3}\cos\frac{7\pi}{6}$$

Представим угол как сумму:

$$\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$$

Применим формулу приведения $\cos(\pi+\beta)=-\cos\beta$:

$$2\sqrt{3}\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}$$

Подставим $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$-2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-3$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике