Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left( \left| x-2a-1 \right|+\left| x-2a+1 \right| \right)^{2}+a\left( \left| x-2a-1 \right|+\left| x-2a+1 \right| \right)+a^{2}-48=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену на сумму модулей, проанализируем её поведение в зависимости от $x$, а затем найдём условия на $a$, при которых исходное уравнение имеет ровно два решения. Обозначим $t = \left| x-2a-1 ight|+\left| x-2a+1 ight|$. Тогда исходное уравнение принимает вид: $$t^{2}+at+a^{2}-48=0$$ Проанализируем функцию $t(x)$. Нули подмодульных выражений: $$x-2a-1=0 \Rightarrow x=2a+1$$ $$x-2a+1=0 \Rightarrow x=2a-1$$ Рассмотрим три области: При $x \leq 2a-1$: $$t = -(x-2a-1) - (x-2a+1) = -2x+4a$$ При $2a-1 < x < 2a+1$: $$t = -(x-2a-1) + (x-2a+1) = 2$$ При $x \geq 2a+1$: $$t = (x-2a-1) + (x-2a+1) = 2x-4a$$ Функция $t(x)$ имеет минимум, равный 2, на отрезке $[2a-1, 2a+1]$, и возрастает при удалении от этого отрезка. Для каждого значения $t$ определим количество решений уравнения $t(x) = t_0$: - Если $t_0 = 2$, то решений бесконечно много (весь отрезок $[2a-1, 2a+1]$). - Если $t_0 < 2$, то решений нет. - Если $t_0 > 2$, то решений ровно два (по одному на каждой из ветвей). Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы уравнение $t^{2}+at+a^{2}-48=0$ имело два различных корня, оба больших 2. **Случай 1:** Два различных корня по разным сторонам от 2. Парабола $f(t) = t^{2}+at+a^{2}-48$ ветвями направлена вверх. Два корня лежат по разным сторонам от 2 тогда и только тогда, когда $f(2) < 0$: $$4 + 2a + a^{2} - 48 < 0$$ $$a^{2} + 2a - 44 < 0$$ $$(a+1)^{2} - 45 < 0$$ $$(a+1-3\sqrt{5})(a+1+3\sqrt{5}) < 0$$ Следовательно: $$a \in (-1-3\sqrt{5}, -1+3\sqrt{5})$$ **Случай 2:** Двойной корень, расположенный правее 2. Условия: $$\begin{cases} D = 0 \ t_{ ext{верш}} > 2 \end{cases}$$ где $t_{ ext{верш}} = -\frac{a}{2}$ — абсцисса вершины. $$\begin{cases} a^{2} - 4(a^{2}-48) = 0 \ -\frac{a}{2} > 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3a^{2} + 192 = 0 \ a < -4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} a^{2} = 64 \ a < -4 \end{cases}$$ $$a = -8$$ Объединяя оба случая, получаем: $$a \in (-1-3\sqrt{5}, -1+3\sqrt{5}) \cup \{-8\}$$ Проверим, что $-8$ входит в интервал: $-1-3\sqrt{5} \approx -7{,}71$, поэтому $-8 < -1-3\sqrt{5}$, и $-8$ не входит в интервал.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике