Question

Решите неравенство:

$$\frac{2\log_{3}(9x)-13}{\log_{3}^{2}x-\log_{3}x^{4}}\leq 1$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать числитель и знаменатель через свойства логарифмов, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Упростим числитель: $$2\log_{3}(9x) = 2(\log_{3}9 + \log_{3}x) = 2(2 + \log_{3}x) = 4 + 2\log_{3}x$$ Упростим знаменатель: $$\log_{3}^{2}x - \log_{3}x^{4} = \log_{3}^{2}x - 4\log_{3}x$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{4 + 2\log_{3}x - 13}{\log_{3}^{2}x - 4\log_{3}x}\leq 1$$ $$\frac{2\log_{3}x - 9}{\log_{3}^{2}x - 4\log_{3}x}\leq 1$$ Обозначим $t = \log_{3}x$: $$\frac{2t - 9}{t^{2} - 4t}\leq 1$$ Перенесём единицу влево: $$\frac{2t - 9}{t^{2} - 4t} - 1 \leq 0$$ $$\frac{2t - 9 - (t^{2} - 4t)}{t^{2} - 4t}\leq 0$$ $$\frac{2t - 9 - t^{2} + 4t}{t^{2} - 4t}\leq 0$$ $$\frac{-t^{2} + 6t - 9}{t(t - 4)}\leq 0$$ Заметим, что числитель — это $-(t^{2} - 6t + 9) = -(t - 3)^{2}$: $$\frac{-(t - 3)^{2}}{t(t - 4)}\leq 0$$ Применим метод интервалов. Нули и точки разрыва: $t = 0$, $t = 3$, $t = 4$. Анализируя знаки на интервалах, получаем: $$t \in (-\infty; 0) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$: При $t < 0$: $\log_{3}x < 0 \Rightarrow x < 1$. При $t = 3$: $\log_{3}x = 3 \Rightarrow x = 27$. При $t > 4$: $\log_{3}x > 4 \Rightarrow x > 81$. Учитывая область определения исходного неравенства ($x > 0$ и $\log_{3}x eq 0$, $\log_{3}x eq 4$, то есть $x eq 1$ и $x eq 81$): $$x \in (0; 1) \cup \{27\} \cup (81; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике