Question

Решите неравенство:

$$\log_{3}\left( \frac{1}{x}+2 \right)-\log_{3}(x+5)\geq\log_{3}\left( \frac{x+4}{x^{2}} \right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для упрощения неравенства, найти область допустимых значений и решить рациональное неравенство методом интервалов. Используя правило разности логарифмов: $$\log_{3}\left( \frac{\frac{1}{x}+2}{x+5} ight)\geq\log_{3}\left(\frac{x+4}{x^{2}} ight)$$ Поскольку логарифм — возрастающая функция, переходим к неравенству для аргументов: $$\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5}\geq\frac{x+4}{x^{2}}$$ Найдём область допустимых значений. Требуется: $$\begin{cases} \frac{1}{x}+2>0 \ x+5>0 \ \frac{x+4}{x^{2}}>0 \end{cases}$$ Из первого условия: $\frac{1+2x}{x}>0$, откуда $x\in\left( -\infty;-\frac{1}{2} ight)\cup\left( 0;+\infty ight)$. Из второго: $x>-5$. Из третьего: $x\in(-4;0)\cup(0;+\infty)$. Пересечение всех трёх даёт: $x\in\left( -4;-\frac{1}{2} ight)\cup\left( 0;+\infty ight)$. Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5}=\frac{\frac{1+2x}{x}}{x+5}=\frac{1+2x}{x(x+5)}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{1+2x}{x(x+5)}-\frac{x+4}{x^{2}}\geq0$$ Приведём к общему знаменателю $x^{2}(x+5)$: $$\frac{x(1+2x)-(x+4)(x+5)}{x^{2}(x+5)}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$x+2x^{2}-(x^{2}+9x+20)=x+2x^{2}-x^{2}-9x-20=x^{2}-8x-20$$ Получаем: $$\frac{x^{2}-8x-20}{x^{2}(x+5)}\geq0$$ Разложим квадратный трёхчлен: $x^{2}-8x-20=(x+2)(x-10)$. $$\frac{(x+2)(x-10)}{x^{2}(x+5)}\geq0$$ Применим метод интервалов. Нули числителя: $x=-2$, $x=10$. Нули знаменателя: $x=-5$, $x=0$ (кратность 2). На числовой оси расставим знаки: - При $x<-5$: $\frac{(-)(-))}{(+)(-)}<0$ - При $-5 0$ - При $-20$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)}> 0$ Решение неравенства: $x\in(-5;-2]\cup(0;+\infty)$. Пересекаем с областью допустимых значений $\left( -4;-\frac{1}{2} ight)\cup\left( 0;+\infty ight)$: $$\left[(-5;-2]\cup(0;+\infty) ight] \cap \left[\left( -4;-\frac{1}{2} ight)\cup\left( 0;+\infty ight) ight] = (-4;-2]\cup(0;+\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике