Question

а) Решите уравнение $\log_{6}(2\sin^{2}(x) - 3\sin(x) - 1) = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить определение логарифма, свести к квадратному уравнению относительно синуса, затем отобрать корни на заданном отрезке.

**а) Решение уравнения**

По определению логарифма:

$$2\sin^{2}(x) - 3\sin(x) - 1 = 1$$

$$2\sin^{2}(x) - 3\sin(x) - 2 = 0$$

Обозначим $t = \sin(x)$, где $t \in [-1; 1]$:

$$2t^{2} - 3t - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

$$t_{1} = 2, \quad t_{2} = -\frac{1}{2}$$

Значение $t_{1} = 2$ не принадлежит диапазону $[-1; 1]$, поэтому отбрасываем его.

Остаётся $\sin(x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$**

Для первого семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6{,}81$

Проверим принадлежность: $-\frac{5\pi}{2} \approx -7{,}85$, $-\pi \approx -3{,}14$

$-\frac{13\pi}{6} \in \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ ✓

При $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0{,}52$ — не в отрезке.

При $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{25\pi}{6} \approx -13{,}09$ — не в отрезке.

Для второго семейства $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:

При $n = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6} \approx -2{,}62$ — не в отрезке (больше $-\pi$).

При $n = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -8{,}90$ — не в отрезке (меньше $-\frac{5\pi}{2}$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике