Question

Решите неравенство:

$$2\log_{3}(\sqrt{6}x)-\log_{3}\left(\frac{6x}{1-x}\right)\leq\log_{3}\left(2x^{2}+\frac{7}{x}-21\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область допустимых значений, привести неравенство к рациональному виду через свойства логарифмов, разложить числитель на множители и применить метод интервалов.

**Область допустимых значений:**

Требуется выполнение условий:
$$\sqrt{6}x > 0, \quad \frac{6x}{1-x} > 0$$

Из первого условия $x > 0$. Из второго: $x > 0$ и $1 - x > 0$, откуда $x \in (0; 1)$.

Условия существования логарифмов в левой части достаточны для проверки правой части благодаря направлению неравенства.

**Преобразование неравенства:**

Применим свойство логарифма степени:

$$\log_{3}(\sqrt{6}x)^{2}-\log_{3}\left(\frac{6x}{1-x}\right)\leq\log_{3}\left(2x^{2}+\frac{7}{x}-21\right)$$

Используем свойство разности логарифмов:

$$\log_{3}\left(\frac{6x^{2}(1-x)}{6x}\right)\leq\log_{3}\left(\frac{2x^{3}-21x+7}{x}\right)$$

Упростим аргумент слева:

$$\log_{3}\left(\frac{x(1-x)}{1}\right)\leq\log_{3}\left(\frac{2x^{3}-21x+7}{x}\right)$$

Так как логарифм — возрастающая функция:

$$\frac{x^{2}-x^{3}}{x}\leq\frac{2x^{3}-21x+7}{x}$$

Умножим обе части на $x > 0$ (знак неравенства не меняется):

$$x^{2}-x^{3}\leq 2x^{3}-21x+7$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^{2}-x^{3}-2x^{3}+21x-7\leq 0$$

$$-3x^{3}+x^{2}+21x-7\leq 0$$

Умножим на $-1$ (знак меняется):

$$3x^{3}-x^{2}-21x+7\geq 0$$

**Разложение на множители:**

Заметим, что $3x^{3}-x^{2}-21x+7 = (3x-1)(x^{2}-7)$.

Тогда:

$$\frac{(3x-1)(x^{2}-7)}{x}\geq 0$$

$$\frac{(3x-1)(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})}{x}\geq 0$$

**Метод интервалов:**

Критические точки: $-\sqrt{7} \approx -2{,}65$; $0$; $\frac{1}{3} \approx 0{,}33$; $\sqrt{7} \approx 2{,}65$.

Решение неравенства на числовой оси:

$$x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup (0; \frac{1}{3}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$$

**Пересечение с ОДЗ:**

Учитывая $x \in (0; 1)$, получаем:

$$x \in (0; \frac{1}{3}]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике