Question

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя равнобедренность треугольника $AMC$ и свойства параллелограмма, покажем, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle MAD$, откуда следует, что центр вписанной окружности лежит на $AC$.

**а) Доказательство**

Из условия $AM = MC$ треугольник $AMC$ равнобедренный, поэтому:

$$\angle AMC = \angle MCA$$

Углы $\angle MCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно:

$$\angle MCA = \angle CAD$$

Это означает, что $AC$ делит угол $\angle MAD$ пополам, то есть является его биссектрисой. Поскольку центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис, он обязательно лежит на биссектрисе $AC$.

**б) Вычисление радиуса**

Обозначим $AM = MC = a$. Тогда $BM = 10 - a$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABM$. Угол $\angle ABM = 180° - 60° = 120°$:

$$a^2 = 25 + (10 - a)^2 - 2 \cdot 5 \cdot (10 - a) \cdot \cos 120°$$

$$a^2 = 25 + 100 - 20a + a^2 - 10(10 - a) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$

$$0 = 125 - 20a + 5(10 - a)$$

$$0 = 125 - 20a + 50 - 5a$$

$$25a = 175$$

$$a = 7$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $MCD$. Угол $\angle MCD = 60°$ (как угол параллелограмма):

$$MD^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$

$$MD = \sqrt{39}$$

Найдём площадь треугольника $AMD$. Высота параллелограмма из вершины $A$ на сторону $AD$:

$$h = AB \cdot \sin 60° = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$

Площадь параллелограмма:

$$S_{ABCD} = AD \cdot h = 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$$

Площадь треугольника $MCD$ (с основанием $CD = 10$ и той же высотой $h$):

$$S_{MCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Площадь треугольника $AMD$:

$$S_{AMD} = S_{ABCD} - S_{ABM} - S_{MCD}$$

Площадь треугольника $ABM$:

$$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin 120° = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$

$$S_{AMD} = 25\sqrt{3} - \frac{15\sqrt{3}}{4} - \frac{25\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} - \frac{15\sqrt{3}}{4} - \frac{50\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} - \frac{65\sqrt{3}}{4} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$$

Периметр треугольника $AMD$:

$$p = AM + MD + AD = 7 + \sqrt{39} + 10 = 17 + \sqrt{39}$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S_{AMD}}{p/2} = \frac{2S_{AMD}}{p} = \frac{2 \cdot \frac{35\sqrt{3}}{4}}{17 + \sqrt{39}} = \frac{\frac{35\sqrt{3}}{2}}{17 + \sqrt{39}} = \frac{35\sqrt{3}}{2(17 + \sqrt{39})}$$

Рационализируем знаменатель:

$$r = \frac{35\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{2(289 - 39)} = \frac{35\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{2 \cdot 250} = \frac{35\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{500} = \frac{7\sqrt{3}(17 - \sqrt{39})}{100}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике