Question

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle AHB_1 = \angle ACB$.

б) Найдите $BC$, если $AH = 4$ и $\angle BAC = 60°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанных углов в окружностях, описанных около четырёхугольников с прямыми углами, а затем применить подобие треугольников.

**а) Доказательство**

Рассмотрим четырёхугольник $AC_1HB_1$. Поскольку $\angle AC_1H = 90°$ (так как $CC_1$ — высота) и $\angle AB_1H = 90°$ (так как $BB_1$ — высота), около этого четырёхугольника можно описать окружность с диаметром $AH$.

Вписанные углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle AHB_1$ опираются на одну и ту же дугу $AB_1$, поэтому:

$$\angle AHB_1 = \angle AC_1B_1$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $BC_1B_1C$. Углы $\angle BC_1C = 90°$ и $\angle BB_1C = 90°$ (так как $CC_1$ и $BB_1$ — высоты), следовательно, эти четыре точки лежат на окружности с диаметром $BC$.

Углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ дополняют друг друга до развёрнутого угла $\angle ACB$:

$$\angle AC_1B_1 = 180° - \angle BC_1B_1 = \angle BCB_1$$

Но $\angle BCB_1 = \angle ACB$ (так как $B_1$ лежит на $AC$).

Таким образом:

$$\angle AHB_1 = \angle ACB$$

**б) Нахождение BC**

В треугольнике $AB_1C_1$ диаметр описанной окружности равен $AH = 4$. По теореме синусов для этого треугольника:

$$B_1C_1 = AH \cdot \sin \angle BAC = 4 \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

В прямоугольном треугольнике $BB_1A$ (с прямым углом при $B_1$):

$$AB_1 = AB \cdot \cos \angle BAB_1 = AB \cdot \cos 60° = \frac{1}{2}AB$$

В прямоугольном треугольнике $CC_1A$ (с прямым углом при $C_1$):

$$AC_1 = AC \cdot \cos \angle CAC_1 = AC \cdot \cos 60° = \frac{1}{2}AC$$

Отсюда получаем:

$$\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1} = 2$$

Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ имеют общий угол $\angle BAC$ и пропорциональные стороны, образующие этот угол, поэтому они подобны с коэффициентом подобия 2.

Следовательно:

$$\frac{BC}{B_1C_1} = 2$$

$$BC = 2B_1C_1 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике