Question

Первая труба заполняет резервуар на 48 минут медленнее, чем вторая. При совместной работе обе трубы заполняют резервуар за 45 минут. Определите, за сколько минут вторая труба в одиночку заполняет резервуар.

Accepted Answer

72

Answer

Идея решения: обозначить время работы второй трубы переменной, выразить производительности обеих труб и составить уравнение на основе того, что сумма производительностей равна производительности совместной работы.

Обозначим время, за которое вторая труба наполняет резервуар, как $x$ минут. Тогда первая труба наполняет его за $x + 48$ минут.

Производительность второй трубы: $\frac{1}{x}$ резервуара в минуту.

Производительность первой трубы: $\frac{1}{x+48}$ резервуара в минуту.

При совместной работе производительность составляет $\frac{1}{45}$ резервуара в минуту.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x+48} + \frac{1}{x} = \frac{1}{45}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{x + (x+48)}{x(x+48)} = \frac{1}{45}$$

$$\frac{2x + 48}{x(x+48)} = \frac{1}{45}$$

Перекрёстное умножение:

$$45(2x + 48) = x(x+48)$$

$$90x + 2160 = x^2 + 48x$$

$$x^2 - 42x - 2160 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{42 \pm \sqrt{1764 + 8640}}{2} = \frac{42 \pm \sqrt{10404}}{2} = \frac{42 \pm 102}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{42 + 102}{2} = 72, \quad x_2 = \frac{42 - 102}{2} = -30$$

Так как время не может быть отрицательным, $x = 72$.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике