Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} y=\left| x-a ight|-4 \ 4\left| y ight|+{x}^{2}+8x=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать второе уравнение в явный вид кривой, разобрать случаи в зависимости от знака $y$, а затем найти значения параметра, при которых график модульной функции пересекает полученную кривую ровно в четырёх точках.

Из второго уравнения выразим модуль:

$$4\left| y ight|+{x}^{2}+8x=0 \implies \left| y ight|=-\frac{x^2+8x}{4}$$

Раскроем модуль в зависимости от знака $y$:

При $y \geq 0$:
$$y = -\frac{1}{4}x^2 - 2x$$

При $y < 0$:
$$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$

Найдём вершины парабол. Для первой параболы:
$$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -4, \quad y_0 = -\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 = 4$$

Для второй параболы:
$$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -4, \quad y_0 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 8 = -4$$

Нули парабол:
$$-\frac{1}{4}x^2 - 2x = 0 \implies x(x+8) = 0 \implies x = 0 	ext{ или } x = -8$$

$$\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0 \implies x(x+8) = 0 \implies x = 0 	ext{ или } x = -8$$

Первая парабола проходит через точки $(-8, 0)$, $(0, 0)$ с вершиной $(-4, 4)$.
Вторая парабола проходит через точки $(-8, 0)$, $(0, 0)$ с вершиной $(-4, -4)$.

Граф первого уравнения — это ломаная $y = |x - a| - 4$ с вершиной в точке $(a, -4)$.

Для четырёх пересечений необходимо, чтобы ломаная касалась одной из парабол и пересекала другую в двух точках.

**Случай 1:** Ломаная $y = x - a - 4$ (правая ветвь, $x \geq a$) касается параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x$.

$$x - a - 4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$

$$\frac{1}{4}x^2 + x + a + 4 = 0$$

Для касания: $D = 0$

$$D = 1 - 4 \cdot \frac{1}{4}(a+4) = 1 - a - 4 = -a - 3 = 0$$

$$a = -3$$

**Случай 2:** Ломаная $y = a - x - 4$ (левая ветвь, $x \leq a$) касается параболы $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x$.

$$a - x - 4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$

$$\frac{1}{4}x^2 + 3x - a + 4 = 0$$

Для касания: $D = 0$

$$D = 9 - 4 \cdot \frac{1}{4}(-a+4) = 9 + a - 4 = a + 5 = 0$$

$$a = -5$$

Проверка показывает, что при $a = -3$ и $a = -5$ система имеет ровно четыре решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике