Question

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $K$ и продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$.

а) Докажите, что $BK = BE$.

б) Найдите отношение $KE : AC$, если $\angle BAD = 30°$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойство параллелограмма (равенство противоположных углов) и теорему о равных хордах, опирающихся на равные углы.

**а) Доказательство**

В параллелограмме $ABCD$ противоположные углы равны:
$$\angle DAB = \angle BCD$$

Оба эти угла опираются на хорды окружности. Угол $\angle DAB$ опирается на хорду $BK$, а угол $\angle BCD$ опирается на хорду $BE$. Поскольку углы равны, равны и хорды:
$$BK = BE$$

**б) Нахождение отношения**

Из условия $\angle BAD = 30°$ следует, что в параллелограмме:
$$\angle ABC = 180° - 30° = 150°$$

Так как $BK = BE$, треугольник $BKE$ равнобедренный. Углы $\angle BKE$ и $\angle BEK$ опираются на равные хорды и равны углам параллелограмма:
$$\angle BKE = \angle BEK = 30°$$

Тогда третий угол треугольника:
$$\angle KBE = 180° - 30° - 30° = 120°$$

Треугольники $ABC$ и $BKE$ вписаны в одну и ту же окружность. Применим теорему синусов к обоим треугольникам:

Для треугольника $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$$

Для треугольника $BKE$:
$$\frac{KE}{\sin \angle KBE} = 2R$$

Разделив второе равенство на первое:
$$\frac{KE}{AC} = \frac{\sin \angle KBE}{\sin \angle ABC} = \frac{\sin 120°}{\sin 150°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике