Question

Решите неравенство:

$$\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\geq\log_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для объединения левой части, затем использовать монотонность логарифма и метод интервалов. **Область допустимых значений:** Требуется выполнение трёх условий: $$2x^2+1>0 \quad ext{(выполнено для всех } x ext{)}$$ $$\frac{1}{32x}+1>0 \Rightarrow \frac{1+32x}{32x}>0$$ $$\frac{x}{16}+1>0 \Rightarrow x>-16$$ Из второго условия: $x \in \left(-16; -\frac{1}{32} ight) \cup (0; +\infty)$. Пересекая со всеми ограничениями, получаем: $$x \in \left(-16; -\frac{1}{32} ight) \cup (0; +\infty)$$ **Решение неравенства:** Объединим логарифмы на левой части: $$\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\frac{1}{32x}+1 ight) ight) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{16}+1 ight)$$ Поскольку основание $11 > 1$, функция логарифма возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$(2x^2+1)\left(\frac{1}{32x}+1 ight) \geq \frac{x}{16}+1$$ Раскроем скобки слева: $$\frac{2x^2}{32x}+2x^2+\frac{1}{32x}+1 \geq \frac{x}{16}+1$$ $$\frac{x}{16}+2x^2+\frac{1}{32x}+1 \geq \frac{x}{16}+1$$ Упростим: $$2x^2+\frac{1}{32x} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{64x^3+1}{32x} \geq 0$$ **Применим метод интервалов:** Нулевые точки числителя: $64x^3+1=0 \Rightarrow x^3=-\frac{1}{64} \Rightarrow x=-\frac{1}{4}$. Нулевая точка знаменателя: $x=0$. На числовой оси отмечаем точки $-\frac{1}{4}$ и $0$. Определяем знаки на каждом промежутке: - При $x < -\frac{1}{4}$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен → дробь положительна. - При $-\frac{1}{4} < x < 0$: числитель положителен, знаменатель отрицателен → дробь отрицательна. - При $x > 0$: числитель положителен, знаменатель положителен → дробь положительна. Решение неравенства: $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{4} ight] \cup (0; +\infty)$$ **Пересечение с ОДЗ:** $$x \in \left(-16; -\frac{1}{4} ight] \cup (0; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике