Question

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них количество чисел, делящихся на 20, меньше, чем количество чисел, делящихся на 23.

а) Может ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б) Может ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать соотношение между количеством чисел, кратных 20 и 23, в последовательности длины $k$, чтобы найти ограничения на $k$ и проверить конкретные случаи.

**а)** Рассмотрим последовательность от 69 до 138 (всего 70 чисел).

Числа, делящиеся на 20: 80, 100, 120 — итого 3 числа.

Числа, делящиеся на 23: 69, 92, 115, 138 — итого 4 числа.

Условие выполнено: $3 < 4$.

**б)** Предположим, последовательность содержит ровно 10 чисел, делящихся на 20. По условию чисел, делящихся на 23, должно быть не менее 11.

Чтобы в последовательности было 11 чисел, кратных 23, её длина должна быть не менее $10 \cdot 23 + 1 = 231$ (десять полных периодов по 23 плюс одно число).

Разделим последовательность из 231 числа на блоки по 20. В каждом полном блоке ровно одно число делится на 20. Таких полных блоков 11, остаток составляет 11 чисел.

Количество чисел, кратных 20, в последовательности из 231 числа:

$$\frac{231 - 19}{20} \approx 10{,}6 > 10$$

Следовательно, при 231 числе будет более 10 чисел, делящихся на 20, что противоречит предположению.

**в)** Обозначим количество чисел, делящихся на 20, через $x$. Тогда чисел, делящихся на 23, ровно $x + 1$.

Последовательность длины $k$ содержит не менее $x$ чисел, кратных 20, поэтому:

$$k \geq 20x + 1$$

Одновременно, в последовательности длины $k$ количество чисел, кратных 20, не превышает:

$$\frac{k - 1}{20} + 1 = \frac{k + 19}{20}$$

Но также количество чисел, кратных 20, равно $x$, поэтому:

$$x \geq \frac{k - 19}{20}$$

Из условия $k \geq 23(x + 1) - 22 = 23x + 1$ и $x \geq \frac{k - 19}{20}$ получаем:

$$x \geq \frac{23x + 1 - 19}{20} = \frac{23x - 18}{20}$$

$$20x \geq 23x - 18$$

$$18 \geq 3x$$

$$x \leq 6$$

Следовательно, $k \leq 20 \cdot 6 + 19 = 139$.

Проверим, что $k = 139$ достижимо. Возьмём последовательность от 161 до 299.

Числа, делящиеся на 20: 180, 200, 220, 240, 260, 280 — итого 6 чисел.

Числа, делящиеся на 23: 161, 184, 207, 230, 253, 276, 299 — итого 7 чисел.

Условие $6 < 7$ выполнено.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике