Question

Для обогрева помещения, поддерживаемого при температуре $T_п = 25°C$, через радиатор циркулирует горячая вода. Объёмный расход воды составляет $m = 0{,}3$ кг/с. При прохождении по трубе на расстояние $x$ вода охлаждается с начальной температуры $T_в = 57°C$ до температуры $T$, при этом выполняется соотношение:

$$x = \alpha \cdot \frac{cm}{\gamma} \cdot \log_2 \frac{T_в - T_п}{T - T_п}$$

где $c = 4200$ Вт·с/(кг·°С) — удельная теплоёмкость воды, $\gamma = 63$ Вт/(м·°С) — коэффициент теплопередачи, $\alpha = 1{,}4$ — безразмерная постоянная. Определите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода при длине трубы радиатора $x = 56$ м.

Accepted Answer

33

Answer

Идея решения: выразить искомую температуру из формулы теплообмена, подставить численные значения и вычислить результат.

Выразим $T$ из исходного уравнения:

$$x = \alpha \cdot \frac{cm}{\gamma} \cdot \log_2 \frac{T_в - T_п}{T - T_п}$$

Разделим обе части на $\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma}$:

$$\frac{x\gamma}{\alpha cm} = \log_2 \frac{T_в - T_п}{T - T_п}$$

Применим показательную функцию с основанием 2:

$$\frac{T_в - T_п}{T - T_п} = 2^{\frac{x\gamma}{\alpha cm}}$$

Выразим $T$:

$$T = \frac{T_в - T_п}{2^{\frac{x\gamma}{\alpha cm}}} + T_п$$

Подставим числовые значения:

$$T = \frac{57 - 25}{2^{\frac{56 \cdot 63}{1{,}4 \cdot 4200 \cdot 0{,}3}}} + 25$$

Вычислим показатель степени:

$$\frac{56 \cdot 63}{1{,}4 \cdot 4200 \cdot 0{,}3} = \frac{3528}{1764} = 2$$

Тогда:

$$T = \frac{32}{2^2} + 25 = \frac{32}{4} + 25 = 8 + 25 = 33$$

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике