Question

Решите неравенство:

$$\log_{2}(17x^{2}+16)-\log_{2}(x^{2}+x+1)\geq\log_{2}\left(\frac{x}{x+10}+16\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область определения, свести логарифмическое неравенство к рациональному, решить методом интервалов. **Область определения:** Требуется $17x^{2}+16 > 0$ (выполнено при всех $x$), $x^{2}+x+1 > 0$ (выполнено при всех $x$, так как дискриминант отрицателен) и $\frac{x}{x+10}+16 > 0$. Для третьего условия: $$\frac{x+16(x+10)}{x+10} > 0$$ $$\frac{17x+160}{x+10} > 0$$ Это выполнено при $x < -10$ или $x > -\frac{160}{17}$. **Решение неравенства:** На области определения неравенство равносильно: $$\frac{17x^{2}+16}{x^{2}+x+1}\geq\frac{17x+160}{x+10}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{17x^{3}+170x^{2}+16x+160}{(x+10)(x^{2}+x+1)}\geq\frac{17x^{3}+177x^{2}+177x+160}{(x+10)(x^{2}+x+1)}$$ $$\frac{-7x^{2}-161x}{(x+10)(x^{2}+x+1)}\geq 0$$ $$\frac{7x^{2}+161x}{(x+10)(x^{2}+x+1)}\leq 0$$ $$\frac{7x(x+23)}{(x+10)(x^{2}+x+1)}\leq 0$$ Поскольку $x^{2}+x+1 > 0$ при всех $x$, получаем: $$\frac{7x(x+23)}{x+10}\leq 0$$ Нули числителя: $x = 0$, $x = -23$. Нуль знаменателя: $x = -10$. Применяя метод интервалов: $$x \in [-23, -10) \cup [0, +\infty)$$ Пересекаем с областью определения ($x < -10$ или $x > -\frac{160}{17}$): $$x \in [-23, -10) \cup \left(-\frac{160}{17}, 0\right]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике