Question

а) Решите уравнение $2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить левую часть уравнения на множители, выделив общий множитель.

**а)** Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$$2\cos^3 x + 2\cos x + \sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3} = 0$$

$$2\cos x(\cos^2 x + 1) + \sqrt{3}(\cos^2 x + 1) = 0$$

$$(\cos^2 x + 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Первый множитель $\cos^2 x + 1 \geq 1 > 0$ для всех $x$, поэтому он не обращается в нуль.

Из второго множителя получаем:

$$2\cos x + \sqrt{3} = 0$$

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это уравнение имеет решения:

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$, используя числовую окружность.

Для первой серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ — принадлежит отрезку.

Для второй серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$:
- При $m = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$ — принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике