Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{2}+y^{2}+4x ight)\cdot\sqrt{2x+y+6}=0 \ y=ax-2a \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить первое уравнение на два случая (окружность и прямая), найти их пересечения с линией $y = a(x-2)$ и определить значения $a$, при которых всего ровно два решения.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель обращается в нуль. Первое уравнение системы распадается на два случая:

$$x^{2}+y^{2}+4x=0 \quad 	ext{или} \quad 2x+y+6=0$$

при условии $2x+y+6 \geq 0$ (из области определения корня).

**Случай 1: окружность**

Преобразуем первое условие:

$$x^{2}+4x+4+y^{2}=4$$

$$(x+2)^{2}+y^{2}=4$$

Это окружность с центром $(-2, 0)$ и радиусом $2$.

**Случай 2: прямая**

$$y=-2x-6$$

Подставим $y = a(x-2)$ в условие $2x+y+6 \geq 0$:

$$2x+a(x-2)+6 \geq 0$$

Для прямой $y = -2x-6$ это условие выполняется при $y \geq -2x-6$, то есть на самой прямой и выше неё.

Найдём пересечение прямой $y = a(x-2)$ с окружностью $(x+2)^{2}+y^{2}=4$:

$$(x+2)^{2}+a^{2}(x-2)^{2}=4$$

Раскроем скобки:

$$x^{2}+4x+4+a^{2}(x^{2}-4x+4)=4$$

$$(1+a^{2})x^{2}+(4-4a^{2})x+4a^{2}=0$$

Найдём пересечение прямой $y = a(x-2)$ с прямой $y = -2x-6$:

$$a(x-2)=-2x-6$$

$$ax-2a=-2x-6$$

$$(a+2)x=2a-6$$

При $a 
eq -2$: $x = \frac{2a-6}{a+2} = \frac{2(a-3)}{a+2}$.

Тогда $y = -2x-6 = -2 \cdot \frac{2(a-3)}{a+2}-6 = \frac{-4(a-3)-6(a+2)}{a+2} = \frac{-10a-12}{a+2} = \frac{-10(a+1{,}2)}{a+2}$.

Проверим точку пересечения окружности с прямой $y = -2x-6$. Подставим в уравнение окружности:

$$(x+2)^{2}+(-2x-6)^{2}=4$$

$$(x+2)^{2}+4x^{2}+24x+36=4$$

$$x^{2}+4x+4+4x^{2}+24x+36=4$$

$$5x^{2}+28x+36=0$$

$$D=784-720=64$$

$$x_{1}=\frac{-28+8}{10}=-2, \quad x_{2}=\frac{-28-8}{10}=-3{,}6$$

Для $x_{1}=-2$: $y_{1}=-2(-2)-6=-2$. Точка $(-2, -2)$.

Для $x_{2}=-3{,}6$: $y_{2}=-2(-3{,}6)-6=1{,}2$. Точка $(-3{,}6, 1{,}2)$.

Прямая $y = a(x-2)$ проходит через точку $(2, 0)$.

Для ровно двух решений системы нужно, чтобы прямая $y = a(x-2)$ либо была касательной к окружности, либо проходила через одну из найденных точек пересечения окружности с прямой $y = -2x-6$.

**Касательная к окружности:**

Расстояние от центра $(-2, 0)$ до прямой $ax-y-2a=0$ равно радиусу:

$$\frac{|a(-2)-0-2a|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2$$

$$\frac{|-4a|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2$$

$$16a^{2}=4(a^{2}+1)$$

$$12a^{2}=4$$

$$a=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Прямая через $(-2, -2)$:**

$$-2=a(-2-2)$$

$$a=\frac{1}{2}$$

**Прямая через $(-3{,}6, 1{,}2)$:**

$$1{,}2=a(-3{,}6-2)$$

$$a=\frac{1{,}2}{-5{,}6}=-\frac{3}{14}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике