Question

Найдите точку максимума функции $y = -\frac{x^2 + 25}{x}$.

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить среди них точку максимума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = \frac{-2x \cdot x - (-x^2 - 25) \cdot 1}{x^2} = \frac{-2x^2 + x^2 + 25}{x^2} = \frac{25 - x^2}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{25 - x^2}{x^2} = 0$$ Числитель обращается в нуль при $x = \pm 5$. Исследуем знак производной на интервалах: - При $x \in (-\infty, -5)$: $y' < 0$ (функция убывает). - При $x \in (-5, 0)$: $y' > 0$ (функция возрастает). - При $x \in (0, 5)$: $y' > 0$ (функция возрастает). - При $x \in (5, +\infty)$: $y' < 0$ (функция убывает). Точка $x = 5$ — переход от возрастания к убыванию, следовательно, это точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике