Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{2}-5x-y+3 ight)\cdot\sqrt{x-y+3}=0 \ y=3x+a \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю или подкоренное выражение равно нулю; это даёт две кривые, пересечение каждой с прямой $y = 3x + a$ определяет количество решений. Уравнение $\left( x^{2}-5x-y+3 \right)\cdot\sqrt{x-y+3}=0$ выполняется в двух случаях. **Случай 1:** $x - y + 3 = 0$, откуда $y = x + 3$. **Случай 2:** $x^{2}-5x-y+3=0$ при условии $x-y+3 \geq 0$. Из второго условия получаем $y = x^{2}-5x+3$ и $y \leq x+3$. Подставляя первое во второе: $$x^{2}-5x+3 \leq x+3$$ $$x^{2}-6x \leq 0$$ $$0 \leq x \leq 6$$ Итак, во втором случае имеем $y = x^{2}-5x+3$ при $0 \leq x \leq 6$. Подставим $y = 3x + a$ в оба случая. **Первый случай:** $3x + a = x + 3$, откуда $$x = \frac{3-a}{2}$$ Это даёт одно решение при любом $a$. **Второй случай:** $3x + a = x^{2}-5x+3$ при $0 \leq x \leq 6$. Получаем квадратное уравнение: $$x^{2}-8x-a+3=0$$ Дискриминант: $$D = 64 + 4(a-3) = 4(a+13)$$ При $a > -13$ уравнение имеет два корня; при $a = -13$ — один корень $x = 4$; при $a < -13$ — нет корней. Парабола $f(x) = x^{2}-8x-a+3$ имеет вершину при $x = 4$ с отрицательным значением при $a > -13$. Больший корень принадлежит $[0, 6]$ тогда и только тогда, когда $f(6) \geq 0$: $$36 - 48 - a + 3 \geq 0 \implies a \leq -9$$ Меньший корень принадлежит $[0, 6]$ тогда и только тогда, когда $f(0) \geq 0$: $$-a + 3 \geq 0 \implies a \leq 3$$ Проверим, когда $x = \frac{3-a}{2}$ является корнем квадратного уравнения: $$\left(\frac{3-a}{2}\right)^{2} - 8 \cdot \frac{3-a}{2} - a + 3 = 0$$ $$\frac{(3-a)^{2}}{4} - 4(3-a) - a + 3 = 0$$ $$(3-a)^{2} - 16(3-a) - 4a + 12 = 0$$ $$(a-3)^{2} + 12(a-3) = 0$$ $$(a-3)(a+9) = 0$$ Следовательно, $a = 3$ или $a = -9$. Анализируем количество решений исходной системы: - При $a < -13$: одно решение (только из первого случая). - При $a = -13$: два решения (первый случай + один корень из второго при $x = 4 \in [0,6]$). - При $-13 < a < -9$: три решения (первый случай + два корня из второго, оба в $[0,6]$). - При $a = -9$: два решения (первый случай совпадает с одним из корней второго случая; второй корень также в $[0,6]$). - При $-9 < a < 3$: два решения (первый случай + один корень из второго в $[0,6]$). - При $a = 3$: два решения (первый случай совпадает с одним из корней; второй корень вне $[0,6]$). - При $a > 3$: одно решение (только из первого случая). Ровно два различных решения при $a = -13$, $a = -9$ и $-9 < a < 3$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике