Question

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5\sqrt{2}$.

а) Докажите, что $BD = CD$.

б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM : MA = DN : NC = 2 : 3$. Найдите площадь сечения $MNB$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равенство прямоугольных треугольников и свойства равнобедренного треугольника для вычисления площади сечения.

**а)** Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Оба являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $D$), имеют общий катет $AD$ и равные гипотенузы: $AB = AC = 5\sqrt{2}$.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза) получаем $	riangle ABD = 	riangle ACD$.

Следовательно, $BD = CD$.

**б)** Определим длины боковых рёбер пирамиды.

Треугольник $BCD$ прямоугольный (угол при $D$) и равнобедренный ($BD = CD$). Его гипотенуза $BC = 5\sqrt{2}$, поэтому:

$$BD = CD = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$$

Из прямоугольного треугольника $ABD$ с гипотенузой $AB = 5\sqrt{2}$ и катетом $BD = 5$:

$$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{50 - 25} = 5$$

Найдём координаты точек. Поместим $D$ в начало координат, $DA$ вдоль оси $x$, $DB$ вдоль оси $y$, $DC$ вдоль оси $z$:

$$D = (0, 0, 0), \quad A = (5, 0, 0), \quad B = (0, 5, 0), \quad C = (0, 0, 5)$$

По условию $DM : MA = 2 : 3$, поэтому $DM = \frac{2}{5} \cdot DA = 2$:

$$M = (2, 0, 0)$$

Аналогично $DN : NC = 2 : 3$, поэтому $DN = \frac{2}{5} \cdot DC = 2$:

$$N = (0, 0, 2)$$

Вычислим стороны треугольника $MNB$:

$$MB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

$$NB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$

$$MN = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$

Треугольник $MNB$ равнобедренный с $MB = NB = \sqrt{29}$. Высота, опущенная из $B$ на основание $MN$, имеет длину:

$$h = \sqrt{MB^2 - \left(\frac{MN}{2}ight)^2} = \sqrt{29 - 2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Площадь сечения:

$$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/wIYY7OIoQGdl1U40fPEkc4EVBI68pU5gfDDxV3bF.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике