Question

Найдите точку минимума функции $y = 7x - \ln(x+10)^7 + 5$.

Accepted Answer

-9

Answer

Идея решения: упростить логарифм, найти производную, определить критическую точку и проверить её характер через знак производной.

Вынесем показатель степени из логарифма:

$$y = 7x - 7\ln(x+10) + 5$$

Область определения: $x > -10$.

Найдём производную:

$$y' = 7 - \frac{7}{x+10} = \frac{7(x+10) - 7}{x+10} = \frac{7x + 63}{x+10}$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{7x + 63}{x+10} = 0$$

$$x + 9 = 0$$

$$x = -9$$

Исследуем знак производной методом интервалов. На интервале $(-10; -9)$ производная отрицательна (функция убывает), на интервале $(-9; +\infty)$ производная положительна (функция возрастает). Следовательно, при $x = -9$ функция достигает минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике