Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x + 14x + 9$ на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

19

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить значение на левом конце промежутка.

Вычислим производную:

$$y' = -10\sin x + 14$$

Приравняем её к нулю:

$$-10\sin x + 14 = 0$$

$$\sin x = 1{,}4$$

Поскольку $1{,}4 > 1$, а область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Так как производная $y' = -10\sin x + 14$ всегда положительна (максимум $\sin x$ равен 1, поэтому $-10\sin x + 14 \geq -10 + 14 = 4 > 0$), функция строго возрастает на всём промежутке.

Для возрастающей функции минимум достигается в левой граничной точке:

$$y(0) = 10\cos 0 + 14 \cdot 0 + 9 = 10 + 0 + 9 = 19$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике