Question

Локатор батискафа, который равномерно погружается вертикально вниз, излучает ультразвуковые импульсы с частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа (в м/с) вычисляется по формуле:

$$u = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота излучаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Найдите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.

Accepted Answer

220,5

Answer

Идея решения: составить неравенство для ограничения скорости и найти максимальное значение частоты отражённого сигнала.

Условие на скорость погружения даёт нам неравенство:

$$u \leq 12$$

Подставим формулу для $u$:

$$c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0} \leq 12$$

Используя значения $c = 1500$ м/с и $f_0 = 217$ МГц:

$$1500 \cdot \frac{f - 217}{f + 217} \leq 12$$

Разделим обе части на 1500:

$$\frac{f - 217}{f + 217} \leq \frac{12}{1500} = \frac{1}{125}$$

Умножим обе части на $(f + 217)$ (при условии $f > -217$, что выполнено для физически осмысленных частот):

$$f - 217 \leq \frac{f + 217}{125}$$

Умножим обе части на 125:

$$125(f - 217) \leq f + 217$$

$$125f - 27125 \leq f + 217$$

$$124f \leq 27342$$

$$f \leq \frac{27342}{124} = 220{,}5$$

Наибольшее возможное значение частоты отражённого сигнала равно 220,5 МГц.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике