Question

Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(x+8)^{11} - 11x$ на отрезке $[-7{,}5; 0]$.

Accepted Answer

77

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их и граничные значения.

Вычислим производную функции:

$$y' = \frac{11}{x+8} - 11$$

Приравняем к нулю:

$$\frac{11}{x+8} - 11 = 0$$

Разделим на 11:

$$\frac{1}{x+8} = 1$$

$$x + 8 = 1$$

$$x = -7$$

Критическая точка $x = -7$ принадлежит отрезку $[-7{,}5; 0]$.

Вычислим значение функции в критической точке:

$$y(-7) = \ln(1)^{11} - 11 \cdot (-7) = 0 + 77 = 77$$

Проверим граничные значения:

$$y(-7{,}5) = \ln(0{,}5)^{11} - 11 \cdot (-7{,}5) = 11\ln(0{,}5) + 82{,}5 \approx -7{,}6 + 82{,}5 = 74{,}9$$

$$y(0) = \ln(8)^{11} - 0 = 11\ln(8) \approx 22{,}9$$

Наибольшее значение равно 77.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике