Question

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что $\angle BKM = 45°$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB = 2\sqrt{10}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить перпендикулярность отрезков $CM$ и $DN$, затем использовать свойства вписанного четырёхугольника и теорему синусов.

**а) Доказательство**

Рассмотрим треугольники $BCM$ и $NCD$. Они равны по двум катетам:
- $BC = CD$ (стороны квадрата);
- $BM = CN$ (половины равных сторон).

Из равенства треугольников следует, что $CM \perp DN$.

Четырёхугольник $BNKM$ вписан в окружность, так как $\angle MBN + \angle NKM = 90° + 90° = 180°$.

В этом четырёхугольнике углы $\angle MKB$ и $\angle BKN$ опираются на равные хорды $BM$ и $BN$ (они равны как половины равных сторон квадрата), поэтому:

$$\angle MKB = \angle BKN$$

Поскольку $CM \perp DN$, имеем $\angle MKN = 90°$, откуда:

$$\angle BKM = \frac{\angle MKN}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$$

**б) Нахождение радиуса**

Обозначим $\angle AMD = \angle BMC = \alpha$. Треугольники $AMD$ и $MBC$ равны по двум катетам, поэтому эти углы действительно равны.

Четырёхугольник $AMKD$ вписан в окружность (так как $\angle MAD + \angle MKD = 90° + 90° = 180°$). Углы $\angle AMD$ и $\angle AKD$ опираются на одну дугу $AD$, следовательно:

$$\angle AKD = \alpha$$

Из перпендикулярности $CM$ и $DN$:

$$\angle AKM = 90° - \alpha$$

Обозначим $\beta = 90° - \alpha$. Тогда:

$$\angle BKA = \angle BKM + \angle AKM = 45° + \beta$$

Найдём $\sin \beta$ и $\cos \beta$. Сторона квадрата равна $2\sqrt{10}$, поэтому $BM = \sqrt{10}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $BCM$:

$$CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{40 + 10} = 5\sqrt{2}$$

Из прямоугольного треугольника $BCM$:

$$\sin \beta = \frac{BM}{CM} = \frac{\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\cos \beta = \frac{BC}{CM} = \frac{2\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

По теореме синусов в треугольнике $ABK$:

$$\frac{AB}{\sin(45° + \beta)} = 2R$$

Вычислим $\sin(45° + \beta)$:

$$\sin(45° + \beta) = \sin 45° \cos \beta + \cos 45° \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$$

Тогда:

$$R = \frac{AB}{2 \sin(45° + \beta)} = \frac{2\sqrt{10}}{2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}} = \frac{2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}}{2 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{50}}{6\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot 5\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/6FFgo6h0lqBYqoF1NQ5h4MLOyK4HtNO5VWC9GIJC.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике