Question

Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$\left( 2x+a+1+	an x ight)^{2}=\left( 2x+a-1-	an x ight)^{2}$$
имеет единственное решение на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить разность квадратов, найти все решения уравнения, а затем определить, при каких значениях параметра на заданном отрезке остаётся ровно одно решение.

Применим формулу разности квадратов:
$$\left( 2x+a+1+	an x ight)^{2}-\left( 2x+a-1-	an x ight)^{2}=0$$

$$\left( 2x+a+1+	an x-2x-a+1+	an x ight)\left( 2x+a+1+	an x+2x+a-1-	an x ight)=0$$

Упростим каждый множитель:
$$\left( 2+2	an x ight)\left( 4x+2a ight)=0$$

$$2\left( 1+	an x ight) \cdot 2\left( 2x+a ight)=0$$

Разделим на 4:
$$\left( 1+	an x ight)\left( 2x+a ight)=0$$

Получаем два условия:

$$	an x = -1 \quad 	ext{или} \quad x = -\frac{a}{2}$$

Из первого условия (с учётом того, что $\cos x 
eq 0$):
$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight]$ тангенс равен $-1$ только при $x = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ — всегда решение уравнения при любом $a$.

Для единственности решения на отрезке необходимо, чтобы второе решение $x_2 = -\frac{a}{2}$ либо не принадлежало отрезку, либо совпадало с $x_1$.

**Случай 1:** $-\frac{a}{2} 
otin \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight]$

Условие принадлежности:
$$-\frac{\pi}{2} \leq -\frac{a}{2} \leq \frac{\pi}{2}$$

$$-\pi \leq -a \leq \pi$$

$$-\pi \leq a \leq \pi$$

Следовательно, $-\frac{a}{2}$ не на отрезке при:
$$a > \pi \quad 	ext{или} \quad a < -\pi$$

**Случай 2:** $-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2}$

$$a = -\pi$$

**Случай 3:** $-\frac{a}{2} = -\frac{\pi}{2}$

$$a = \pi$$

**Случай 4:** $-\frac{a}{2} = -\frac{\pi}{4}$

$$a = \frac{\pi}{2}$$

Объединяя все случаи:

$$a \in (-\infty; -\pi] \cup \left\{ \frac{\pi}{2} ight\} \cup [\pi; +\infty)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике