Question

Найдите точку максимума функции $y = 15 + 24x - 2x^{\frac{3}{2}}$.

Accepted Answer

64

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, где функция достигает максимума. Вычислим производную: $$y' = (15 + 24x - 2x^{\frac{3}{2}})' = 0 + 24 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 24 - 3\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$24 - 3\sqrt{x} = 0$$ $$3\sqrt{x} = 24$$ $$\sqrt{x} = 8$$ $$x = 64$$ Проверим знак производной: при $x < 64$ имеем $\sqrt{x} < 8$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает); при $x > 64$ имеем $\sqrt{x} > 8$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). Следовательно, $x = 64$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике