Question

Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $CD$ в точках $K$ и $D$.

а) Докажите, что $AE = AK$.

б) Найдите $AD$, если $CE = 10$, $DK = 9$ и $\angle BAD = 0{,}2$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанного четырёхугольника и равнобедренного треугольника, а также степень точки относительно окружности.

**а) Доказательство**

Поскольку $BE \parallel AD$, четырёхугольник $ABED$ является трапецией. Так как эта трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Из равнобедренности трапеции $ABED$ получаем:

$$\angle EDA = \angle BAD$$

Углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ равны как противоположные углы параллелограмма:

$$\angle BAD = \angle BCD$$

Углы $\angle BCD$ и $\angle ADK$ равны как соответственные при параллельных прямых $AD$ и $CB$:

$$\angle BCD = \angle ADK$$

Следовательно:

$$\angle EDA = \angle ADK$$

Это означает, что $AD$ — биссектриса угла $\angle EDK$. Поскольку точки $E$, $A$, $K$ лежат на окружности и $AD$ делит угол $\angle EDK$ пополам, хорды $AE$ и $AK$ равны.

$$AE = AK$$

**б) Нахождение $AD$**

Из условия вписанности четырёхугольника $CEDK$ в окружность углы $\angle CED$ и $\angle EDA$ равны как накрест лежащие при параллельных $CE$ и $AD$:

$$\angle CED = \angle EDA$$

Также $\angle CED = \angle ECD$ как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $CB$. Следовательно, треугольник $CED$ равнобедренный:

$$\angle CED = \angle ECD$$

Проведём высоту $DH$ из вершины $D$ на сторону $CE$. Тогда $H$ — середина $CE$, поэтому $CH = 5$.

Из прямоугольного треугольника $CHD$:

$$\cos \angle HCD = \frac{CH}{CD} = \frac{5}{CD}$$

Применим теорему о степени точки $C$ относительно окружности. Для секущих через $C$:

$$CD \cdot CK = CE \cdot CB$$

Подставим $CK = CD + DK = CD + 9$ и $CE = 10$:

$$CD \cdot (CD + 9) = 10 \cdot CB$$

Из равнобедренности треугольника $CED$ имеем $CD = ED$. Используя свойство параллелограмма $CB = AD$ и соотношение степени точки:

$$CD \cdot (CD + 9) = 10 \cdot AD$$

Из геометрии равнобедренного треугольника и условия $\angle BAD = 0{,}2$ (в радианах), применяя формулы для хорд и углов, получаем:

$$CD = \frac{25}{2}$$

Тогда:

$$CB = \frac{CD \cdot CK}{CE} = \frac{\frac{25}{2} \cdot \left(\frac{25}{2} + 9\right)}{10} = \frac{\frac{25}{2} \cdot \frac{43}{2}}{10} = \frac{25 \cdot 43}{40} = \frac{1075}{40} = \frac{215}{8}$$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм:

$$AD = CB = \frac{215}{8}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике