Question

а) Решите уравнение:
$$2\cos\left( 2\pi+2x \right)-2+\sqrt{8}\sin x=-\sqrt{6}+\sqrt{12}\sin x$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 0;\frac{3\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить левую часть, привести подобные, разложить на множители и решить совокупность двух простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Используя периодичность косинуса, заметим, что $\cos(2\pi + 2x) = \cos 2x$:

$$2\cos 2x - 2 + \sqrt{8}\sin x = -\sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$$

Перенесём все в левую часть:

$$2\cos 2x - 2 + \sqrt{8}\sin x + \sqrt{6} - \sqrt{12}\sin x = 0$$

Применим формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$2(1 - 2\sin^2 x) - 2 + \sqrt{8}\sin x + \sqrt{6} - \sqrt{12}\sin x = 0$$

Раскроем скобки:

$$2 - 4\sin^2 x - 2 + \sqrt{8}\sin x + \sqrt{6} - \sqrt{12}\sin x = 0$$

Упростим (заметим, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$):

$$-4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6} - 2\sqrt{3}\sin x = 0$$

Умножим на $-1$ и переупорядочим:

$$4\sin^2 x - 2\sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0$$

Сгруппируем:

$$2\sin x(2\sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(2\sin x - \sqrt{2})(2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $2\sin x - \sqrt{2} = 0$

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\sin x + \sqrt{3} = 0$

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ 0;\frac{3\pi}{2} \right]$**

Используя тригонометрическую окружность, выберем значения, попадающие в указанный промежуток:

Из серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{4}$.

Из серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Из серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x_3 = \frac{4\pi}{3}$.

Из серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем отрицательное значение (не входит в отрезок); при $k = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} > \frac{3\pi}{2}$ (не входит).

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/xMEhcokb4t21QAALFBuSbEap1XXzPgM8c1WbDwO5.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике